Integral de (cos^5x)/(sin^7x) dx
Solución
Solución detallada
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Vuelva a escribir el integrando:
sin7(x)cos5(x)=sin7(x)(1−sin2(x))2cos(x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=sin2(x).
Luego que du=2sin(x)cos(x)dx y ponemos 2du:
∫2u4u2−2u+1du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4u2−2u+1du=2∫u4u2−2u+1du
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Vuelva a escribir el integrando:
u4u2−2u+1=u21−u32+u41
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Integramos término a término:
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u21du=−u1
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u32)du=−2∫u31du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u31du=−2u21
Por lo tanto, el resultado es: u21
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u41du=−3u31
El resultado es: −u1+u21−3u31
Por lo tanto, el resultado es: −2u1+2u21−6u31
Si ahora sustituir u más en:
−2sin2(x)1+2sin4(x)1−6sin6(x)1
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
sin7(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin7(x)sin4(x)cos(x)−2sin2(x)cos(x)+cos(x)
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u7u4−2u2+1du
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que u=u2.
Luego que du=2udu y ponemos 2du:
∫2u4u2−2u+1du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4u2−2u+1du=2∫u4u2−2u+1du
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Vuelva a escribir el integrando:
u4u2−2u+1=u21−u32+u41
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Integramos término a término:
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u21du=−u1
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u32)du=−2∫u31du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u31du=−2u21
Por lo tanto, el resultado es: u21
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u41du=−3u31
El resultado es: −u1+u21−3u31
Por lo tanto, el resultado es: −2u1+2u21−6u31
Si ahora sustituir u más en:
−2u21+2u41−6u61
Si ahora sustituir u más en:
−2sin2(x)1+2sin4(x)1−6sin6(x)1
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
sin7(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin3(x)cos(x)−sin5(x)2cos(x)+sin7(x)cos(x)
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Integramos término a término:
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u31du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u31du=−2u21
Si ahora sustituir u más en:
−2sin2(x)1
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin5(x)2cos(x))dx=−2∫sin5(x)cos(x)dx
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u51du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u51du=−4u41
Si ahora sustituir u más en:
−4sin4(x)1
Por lo tanto, el resultado es: 2sin4(x)1
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u71du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u71du=−6u61
Si ahora sustituir u más en:
−6sin6(x)1
El resultado es: −2sin2(x)1+2sin4(x)1−6sin6(x)1
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Ahora simplificar:
6sin6(x)−3sin4(x)+3sin2(x)−1
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Añadimos la constante de integración:
6sin6(x)−3sin4(x)+3sin2(x)−1+constant
Respuesta:
6sin6(x)−3sin4(x)+3sin2(x)−1+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 5
| cos (x) 1 1 1
| ------- dx = C + --------- - --------- - ---------
| 7 4 2 6
| sin (x) 2*sin (x) 2*sin (x) 6*sin (x)
|
/
∫sin7(x)cos5(x)dx=C−2sin2(x)1+2sin4(x)1−6sin6(x)1
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.