Sr Examen

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Integral de (cos^5x)/(sin^7x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     7      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0             
01cos5(x)sin7(x)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}\, dx
Integral(cos(x)^5/sin(x)^7, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos5(x)sin7(x)=(1sin2(x))2cos(x)sin7(x)\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2sin(x)cos(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      u22u+12u4du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{4}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u22u+1u4du=u22u+1u4du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u22u+1u4=1u22u3+1u4\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2u3)du=21u3du\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u3du=12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u2\frac{1}{u^{2}}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: 1u+1u213u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12u+12u216u3- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{6 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      12sin2(x)+12sin4(x)16sin6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2cos(x)sin7(x)=sin4(x)cos(x)2sin2(x)cos(x)+cos(x)sin7(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

    2. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      u42u2+1u7du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{7}}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        u22u+12u4du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{4}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u22u+1u4du=u22u+1u4du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u22u+1u4=1u22u3+1u4\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{4}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              (2u3)du=21u3du\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                1u3du=12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u2\frac{1}{u^{2}}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

            El resultado es: 1u+1u213u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{3 u^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: 12u+12u216u3- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{6 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        12u2+12u416u6- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{2 u^{4}} - \frac{1}{6 u^{6}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      12sin2(x)+12sin4(x)16sin6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2cos(x)sin7(x)=cos(x)sin3(x)2cos(x)sin5(x)+cos(x)sin7(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        1u3du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          1u3du=12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        12sin2(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2cos(x)sin5(x))dx=2cos(x)sin5(x)dx\int \left(- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          1u5du\int \frac{1}{u^{5}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1u5du=14u4\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          14sin4(x)- \frac{1}{4 \sin^{4}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sin4(x)\frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}}

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        1u7du\int \frac{1}{u^{7}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          1u7du=16u6\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        16sin6(x)- \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

      El resultado es: 12sin2(x)+12sin4(x)16sin6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    3sin4(x)+3sin2(x)16sin6(x)\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    3sin4(x)+3sin2(x)16sin6(x)+constant\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3sin4(x)+3sin2(x)16sin6(x)+constant\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                                   
 |    5                                              
 | cos (x)              1           1           1    
 | ------- dx = C + --------- - --------- - ---------
 |    7                  4           2           6   
 | sin (x)          2*sin (x)   2*sin (x)   6*sin (x)
 |                                                   
/                                                    
cos5(x)sin7(x)dx=C12sin2(x)+12sin4(x)16sin6(x)\int \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1e281e28
Respuesta [src]
oo
\infty
=
=
oo
\infty
oo
Respuesta numérica [src]
6.88049276860284e+113
6.88049276860284e+113

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.