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Resolución de integrales/ cos^5/ sin^7x/ (cos^5x)/(sin^7x)

Integral de (cos^5x)/(sin^7x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     7      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫01cos⁡5(x)sin⁡7(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)^5/sin(x)^7, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡5(x)sin⁡7(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡7(x)\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u2−2u+12u4 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{4}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u4 du=∫u2−2u+1u4 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u4=1u2−2u3+1u4\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u3) du=−2∫1u3 du\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u2\frac{1}{u^{2}}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: −1u+1u2−13u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −12u+12u2−16u3- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{6 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −12sin⁡2(x)+12sin⁡4(x)−16sin⁡6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡7(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡7(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

    2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u4−2u2+1u7 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{7}}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u2−2u+12u4 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{4}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−2u+1u4 du=∫u2−2u+1u4 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−2u+1u4=1u2−2u3+1u4\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{4}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u3) du=−2∫1u3 du\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u2\frac{1}{u^{2}}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

            El resultado es: −1u+1u2−13u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{3 u^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: −12u+12u2−16u3- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{6 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12u2+12u4−16u6- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{2 u^{4}} - \frac{1}{6 u^{6}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −12sin⁡2(x)+12sin⁡4(x)−16sin⁡6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡7(x)=cos⁡(x)sin⁡3(x)−2cos⁡(x)sin⁡5(x)+cos⁡(x)sin⁡7(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12sin⁡2(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)sin⁡5(x)) dx=−2∫cos⁡(x)sin⁡5(x) dx\int \left(- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u5 du\int \frac{1}{u^{5}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u5 du=−14u4\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −14sin⁡4(x)- \frac{1}{4 \sin^{4}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sin⁡4(x)\frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u7 du\int \frac{1}{u^{7}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u7 du=−16u6\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −16sin⁡6(x)- \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −12sin⁡2(x)+12sin⁡4(x)−16sin⁡6(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    −3sin⁡4(x)+3sin⁡2(x)−16sin⁡6(x)\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −3sin⁡4(x)+3sin⁡2(x)−16sin⁡6(x)+constant\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3sin⁡4(x)+3sin⁡2(x)−16sin⁡6(x)+constant\frac{- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 |    5                                              
 | cos (x)              1           1           1    
 | ------- dx = C + --------- - --------- - ---------
 |    7                  4           2           6   
 | sin (x)          2*sin (x)   2*sin (x)   6*sin (x)
 |                                                   
/
∫cos⁡5(x)sin⁡7(x) dx=C−12sin⁡2(x)+12sin⁡4(x)−16sin⁡6(x)\int \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{7}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1e281e28
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
6.88049276860284e+113
6.88049276860284e+113

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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