Integral de x*sin*x/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$