Integral de 7*cos(x/2)+x*sin(x/2)+48*x+18 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 48 x\, dx = 48 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24 x^{2}$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 7 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         El resultado es: $- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      El resultado es: $24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 18\, dx = 18 x$

   El resultado es: $24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$