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Resolución de integrales/ 7*cos(x/2)+x*sin(x/2)+48*x+18

Integral de 7*cos(x/2)+x*sin(x/2)+48*x+18 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  /     /x\        /x\            \   
 |  |7*cos|-| + x*sin|-| + 48*x + 18| dx
 |  \     \2/        \2/            /   
 |                                      
/                                       
0
∫01((48x+(xsin⁡(x2)+7cos⁡(x2)))+18) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(48 x + \left(x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right) + 18\right)\, dx 
Integral(7*cos(x/2) + x*sin(x/2) + 48*x + 18, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫48x dx=48∫x dx\int 48 x\, dx = 48 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 24x224 x^{2}

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7cos⁡(x2) dx=7∫cos⁡(x2) dx\int 7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 7 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 14sin⁡(x2)14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        El resultado es: −2xcos⁡(x2)+4sin⁡(x2)+14sin⁡(x2)- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 24x2−2xcos⁡(x2)+4sin⁡(x2)+14sin⁡(x2)24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫18 dx=18x\int 18\, dx = 18 x

    El resultado es: 24x2−2xcos⁡(x2)+18x+4sin⁡(x2)+14sin⁡(x2)24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    24x2−2xcos⁡(x2)+18x+18sin⁡(x2)24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    24x2−2xcos⁡(x2)+18x+18sin⁡(x2)+constant24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

24x2−2xcos⁡(x2)+18x+18sin⁡(x2)+constant24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 18 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                           
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 | /     /x\        /x\            \               /x\         /x\              2          /x\
 | |7*cos|-| + x*sin|-| + 48*x + 18| dx = C + 4*sin|-| + 14*sin|-| + 18*x + 24*x  - 2*x*cos|-|
 | \     \2/        \2/            /               \2/         \2/                         \2/
 |                                                                                            
/
∫((48x+(xsin⁡(x2)+7cos⁡(x2)))+18) dx=C+24x2−2xcos⁡(x2)+18x+4sin⁡(x2)+14sin⁡(x2)\int \left(\left(48 x + \left(x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right) + 18\right)\, dx = C + 24 x^{2} - 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 x + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
42 - 2*cos(1/2) + 18*sin(1/2)
−2cos⁡(12)+18sin⁡(12)+42- 2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 18 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 42 
=
= 
42 - 2*cos(1/2) + 18*sin(1/2)
−2cos⁡(12)+18sin⁡(12)+42- 2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 18 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 42 
42 - 2*cos(1/2) + 18*sin(1/2)
Respuesta numérica [src] 
48.8744945710949
48.8744945710949

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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