Integral de (2x^3+4x-3)ln(x/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(2 x^{3} + 4 x\right) - 3\right) \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x^{3} \log{\left(x \right)} - 2 x^{3} \log{\left(2 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - 3 \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{4 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 4 u$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{4 u}}{4}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

               1. que $u = 4 u$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{4 u}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 4 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3 \log{\left(2 \right)}\, dx = 3 x \log{\left(2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + 2 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} \log{\left(2 \right)} - x^{2} - 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x \log{\left(2 \right)} + 3 x$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(2 x^{3} + 4 x\right) - 3$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} + 2 x^{2} - 3 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{4}}{2} + 2 x^{2} - 3 x}{x} = \frac{x^{3}}{2} + 2 x - 3$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{2}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{8} + x^{2} - 3 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(2 x^{3} + 4 x\right) - 3\right) \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x^{3} \log{\left(x \right)} - 2 x^{3} \log{\left(2 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x \log{\left(2 \right)} - 3 \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{4 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 4 u$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{4 u}}{4}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

               1. que $u = 4 u$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{4 u}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 4 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3 \log{\left(2 \right)}\, dx = 3 x \log{\left(2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + 2 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} \log{\left(2 \right)} - x^{2} - 3 x \log{\left(x \right)} + 3 x \log{\left(2 \right)} + 3 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} \log{\left(16 \right)} - x^{3} + 16 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(65536 \right)} - 8 x - 24 \log{\left(x \right)} + \log{\left(16777216 \right)} + 24\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} \log{\left(16 \right)} - x^{3} + 16 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(65536 \right)} - 8 x - 24 \log{\left(x \right)} + \log{\left(16777216 \right)} + 24\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} \log{\left(16 \right)} - x^{3} + 16 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(65536 \right)} - 8 x - 24 \log{\left(x \right)} + \log{\left(16777216 \right)} + 24\right)}{8}+ \mathrm{constant}$