Integral de (1-sqrt2x^5)/sqrt2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x}$.

      Luego que $du = \frac{\sqrt{2} dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(1 - u^{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{5}\right)\, du = - \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

         El resultado es: $- \frac{u^{6}}{6} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 x^{3}}{3} + \sqrt{2 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \left(\sqrt{2 x}\right)^{5}}{\sqrt{2 x}} = \frac{- 8 x^{\frac{5}{2}} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{- 8 x^{\frac{5}{2}} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{- 8 x^{\frac{5}{2}} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{2 \sqrt{2} u^{5} - 16}{u^{7}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 \sqrt{2} u^{5} - 16}{u^{7}}\, du = - \int \frac{2 \sqrt{2} u^{5} - 16}{u^{7}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{2 \sqrt{2} u^{5} - 16}{u^{7}} = \frac{2 \sqrt{2}}{u^{2}} - \frac{16}{u^{7}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2 \sqrt{2}}{u^{2}}\, du = 2 \sqrt{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{2}}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{16}{u^{7}}\right)\, du = - 16 \int \frac{1}{u^{7}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 u^{6}}$

               El resultado es: $- \frac{2 \sqrt{2}}{u} + \frac{8}{3 u^{6}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{2}}{u} - \frac{8}{3 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{8 x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{4 x^{3}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \left(\sqrt{2 x}\right)^{5}}{\sqrt{2 x}} = - 4 x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \sqrt{x}$

      El resultado es: $\sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{4 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{4 x^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{4 x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \sqrt{x} - \frac{4 x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$