Integral de (12x^2-6)*√2x^3-3x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(12 x^{2} - 6\right) \left(\sqrt{2 x}\right)^{3} = 24 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}} - 12 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 24 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}\, dx = 24 \sqrt{2} \int x^{\frac{7}{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{\frac{7}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 12 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 12 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         El resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(12 x^{2} - 6\right) \left(\sqrt{2 x}\right)^{3} = - 12 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{2} \cdot 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 12 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 12 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 x^{2} \cdot 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}\, dx = 12 \int 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx = 2 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx$

               1. que $u = x^{\frac{3}{2}}$.

                  Luego que $du = \frac{3 \sqrt{x} dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

                  $\int \frac{2 u^{2}}{3}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3}$

         El resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   El resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{24 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{3 x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$