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Resolución de integrales/ sin2x/ sin^2/ sin2(x)/ (sin2(x)+xsin2x)/(xsin^2x)

Integral de (sin2(x)+xsin2x)/(xsin^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |     2                   
 |  sin (x) + x*sin(2*x)   
 |  -------------------- dx
 |            2            
 |       x*sin (x)         
 |                         
/                          
0
∫01xsin⁡(2x)+sin⁡2(x)xsin⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((sin(x)^2 + x*sin(2*x))/((x*sin(x)^2)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xsin⁡(2x)+sin⁡2(x)xsin⁡2(x)=sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1x\frac{x \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(x)sin⁡(x) dx=2∫cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(sin⁡(x))2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x))\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xsin⁡(2x)+sin⁡2(x)xsin⁡2(x)=2cos⁡(x)sin⁡(x)+1x\frac{x \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(x)sin⁡(x) dx=2∫cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(sin⁡(x))2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x))\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x))+constant\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x))+constant\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 |    2                                                
 | sin (x) + x*sin(2*x)                                
 | -------------------- dx = C + 2*log(sin(x)) + log(x)
 |           2                                         
 |      x*sin (x)                                      
 |                                                     
/
∫xsin⁡(2x)+sin⁡2(x)xsin⁡2(x) dx=C+log⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x))\int \frac{x \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9050000-25000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
131.926130909441
131.926130909441

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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