Integral de 15sin^7x dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi             
   /              
  |               
  |        7      
  |  15*sin (x) dx
  |               
 /                
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} 15 \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(15*sin(x)^7, (x, 0, 2*pi))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int 15 \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx = 15 \int \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{3}{\left(x \right)}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    El resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{3}{\left(x \right)}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    El resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 9 \cos^{5}{\left(x \right)} + 15 \cos^{3}{\left(x \right)} - 15 \cos{\left(x \right)}$
Ahora simplificar:

$3 \left(- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 \cos^{6}{\left(x \right)}}{7} - 3\right) \cos{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$3 \left(- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 \cos^{6}{\left(x \right)}}{7} - 3\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \left(- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 \cos^{6}{\left(x \right)}}{7} - 3\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                   
 |                                                                7   
 |       7                              5            3      15*cos (x)
 | 15*sin (x) dx = C - 15*cos(x) - 9*cos (x) + 15*cos (x) + ----------
 |                                                              7     
/

$$\int 15 \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{15 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 9 \cos^{5}{\left(x \right)} + 15 \cos^{3}{\left(x \right)} - 15 \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

$$0$$

Respuesta numérica [src]

-2.93312154900222e-21

-2.93312154900222e-21

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de 15sin^7x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2