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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ e^x*sin(2*x)

Integral de e^x*sin(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   x            
 |  E *sin(2*x) dx
 |                
/                 
0
∫01exsin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(E^x*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2exsin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫exsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

      Entonces du⁡(x)=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      (−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))ex=−exsin⁡2(x)+excos⁡2(x)\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x} = - e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−exsin⁡2(x)) dx=−∫exsin⁡2(x) dx\int \left(- e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          3exsin⁡2(x)5−2exsin⁡(x)cos⁡(x)5+2excos⁡2(x)5\frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −3exsin⁡2(x)5+2exsin⁡(x)cos⁡(x)5−2excos⁡2(x)5- \frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        2exsin⁡2(x)5+2exsin⁡(x)cos⁡(x)5+3excos⁡2(x)5\frac{2 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: −exsin⁡2(x)5+4exsin⁡(x)cos⁡(x)5+excos⁡2(x)5- \frac{e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{4 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}

    Por lo tanto, el resultado es: 2exsin⁡2(x)5+2exsin⁡(x)cos⁡(x)5−2excos⁡2(x)5\frac{2 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}

  2. Ahora simplificar:

    (sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))ex5\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))ex5+constant\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))ex5+constant\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                     
 |                           2     x        2     x             x       
 |  x                   2*cos (x)*e    2*sin (x)*e    2*cos(x)*e *sin(x)
 | E *sin(2*x) dx = C - ------------ + ------------ + ------------------
 |                           5              5                 5         
/
∫exsin⁡(2x) dx=C+2exsin⁡2(x)5+2exsin⁡(x)cos⁡(x)5−2excos⁡2(x)5\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{2 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2   2*E*cos(2)   E*sin(2)
- - ---------- + --------
5       5           5
25−2ecos⁡(2)5+esin⁡(2)5\frac{2}{5} - \frac{2 e \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{e \sin{\left(2 \right)}}{5} 
=
= 
2   2*E*cos(2)   E*sin(2)
- - ---------- + --------
5       5           5
25−2ecos⁡(2)5+esin⁡(2)5\frac{2}{5} - \frac{2 e \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{e \sin{\left(2 \right)}}{5} 
2/5 - 2*E*cos(2)/5 + E*sin(2)/5
Respuesta numérica [src] 
1.34682708790369
1.34682708790369

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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