Integral de (1+4x)sin(-x+1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(4 x + 1\right) \sin{\left(1 - x \right)} = - 4 x \sin{\left(x - 1 \right)} - \sin{\left(x - 1 \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 x \sin{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \sin{\left(x - 1 \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 1 \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \cos{\left(x - 1 \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x - 1 \right)}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 x \cos{\left(x - 1 \right)} - 4 \sin{\left(x - 1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x - 1 \right)}\, dx$

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \cos{\left(x - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x - 1 \right)}$

   El resultado es: $4 x \cos{\left(x - 1 \right)} - 4 \sin{\left(x - 1 \right)} + \cos{\left(x - 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $4 x \cos{\left(x - 1 \right)} - 4 \sin{\left(x - 1 \right)} + \cos{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x \cos{\left(x - 1 \right)} - 4 \sin{\left(x - 1 \right)} + \cos{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$