Integral de arcctg√x/(√x*(1+x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- 2 u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - 2 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}$

   2. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du$

         1. que $u = \operatorname{acot}{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2} + 1}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}$

   2. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du$

         1. que $u = \operatorname{acot}{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2} + 1}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$