Sr Examen

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Resolución de integrales/ (1+x)/ arcctg√x/(√x*(1+x))

Integral de arcctg√x/(√x*(1+x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |       /  ___\    
 |   acot\\/ x /    
 |  ------------- dx
 |    ___           
 |  \/ x *(1 + x)   
 |                  
/                   
0
∫01acot⁡(x)x(x+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\, dx 
Integral(acot(sqrt(x))/((sqrt(x)*(1 + x))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=acot⁡(x)u = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}.

      Luego que du=−dx2x(x+1)du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} y ponemos −2du- 2 du:

      ∫(−2u) du\int \left(- 2 u\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u du=−2∫u du\int u\, du = - 2 \int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acot⁡2(x)- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      acot⁡(x)x(x+1)=acot⁡(x)x32+x\frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}

    2. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

      ∫2acot⁡(u)u2+1 du\int \frac{2 \operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫acot⁡(u)u2+1 du=2∫acot⁡(u)u2+1 du\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du

        1. que u=acot⁡(u)u = \operatorname{acot}{\left(u \right)}.

          Luego que du=−duu2+1du = - \frac{du}{u^{2} + 1} y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −acot⁡2(u)2- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −acot⁡2(u)- \operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acot⁡2(x)- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      acot⁡(x)x(x+1)=acot⁡(x)x32+x\frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}

    2. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

      ∫2acot⁡(u)u2+1 du\int \frac{2 \operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫acot⁡(u)u2+1 du=2∫acot⁡(u)u2+1 du\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{u^{2} + 1}\, du

        1. que u=acot⁡(u)u = \operatorname{acot}{\left(u \right)}.

          Luego que du=−duu2+1du = - \frac{du}{u^{2} + 1} y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −acot⁡2(u)2- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −acot⁡2(u)- \operatorname{acot}^{2}{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acot⁡2(x)- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −acot⁡2(x)+constant- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−acot⁡2(x)+constant- \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |      /  ___\                       
 |  acot\\/ x /               2/  ___\
 | ------------- dx = C - acot \\/ x /
 |   ___                              
 | \/ x *(1 + x)                      
 |                                    
/
∫acot⁡(x)x(x+1) dx=C−acot⁡2(x)\int \frac{\operatorname{acot}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\, dx = C - \operatorname{acot}^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90200-100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    2
3*pi 
-----
  16
3π216\frac{3 \pi^{2}}{16} 
=
= 
    2
3*pi 
-----
  16
3π216\frac{3 \pi^{2}}{16} 
3*pi^2/16
Respuesta numérica [src] 
1.85055082415202
1.85055082415202

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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