Sr Examen
Integral de (x-1)/(x^2-4x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 4*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((x - 1)/(x^2 - 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 4*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x - 4 \
|------------|
| 2 |
x - 1 \x - 4*x + 5/ 1
------------ = -------------- + -----------------
2 2 / 2 \
x - 4*x + 5 1*\(-x + 2) + 1/o
/ | | x - 1 | ------------ dx | 2 = | x - 4*x + 5 | /
/
|
| 2*x - 4
| ------------ dx
| 2
| x - 4*x + 5 /
| |
/ | 1
------------------ + | ------------- dx
2 | 2
| (-x + 2) + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*x - 4
| ------------ dx
| 2
| x - 4*x + 5
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 4*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 5 + u
|
/ log(5 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 4
| ------------ dx
| 2
| x - 4*x + 5
| / 2 \
/ log\5 + x - 4*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/ | | 1 | ------------- dx | 2 | (-x + 2) + 1 | /
hacemos el cambio
v = 2 - x
entonces
integral =
/ | | 1 | ------ dv = atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 | ------------- dx = atan(-2 + x) | 2 | (-x + 2) + 1 | /
La solución:
/ 2 \
log\5 + x - 4*x/
C + ----------------- + atan(-2 + x)
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | x - 1 log\5 + x - 4*x/ | ------------ dx = C + ----------------- + atan(-2 + x) | 2 2 | x - 4*x + 5 | /
$$\int \frac{x - 1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 4 x + 5 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(x - 2 \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(2) log(5) pi ------ - ------ - -- + atan(2) 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
=
=
log(2) log(5) pi ------ - ------ - -- + atan(2) 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
log(2)/2 - log(5)/2 - pi/4 + atan(2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.