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Resolución de integrales/ (x-6)/ (x-6)*sin(4*x)

Integral de (x-6)*sin(4*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x - 6)*sin(4*x) dx
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/                      
0
∫01(x−6)sin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - 6\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((x - 6)*sin(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−6)sin⁡(4x)=xsin⁡(4x)−6sin⁡(4x)\left(x - 6\right) \sin{\left(4 x \right)} = x \sin{\left(4 x \right)} - 6 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(4x)) dx=−6∫sin⁡(4x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(4x)2\frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: −xcos⁡(4x)4+sin⁡(4x)16+3cos⁡(4x)2- \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−6u{\left(x \right)} = x - 6 y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−6)sin⁡(4x)=xsin⁡(4x)−6sin⁡(4x)\left(x - 6\right) \sin{\left(4 x \right)} = x \sin{\left(4 x \right)} - 6 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(4x)) dx=−6∫sin⁡(4x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(4x)2\frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: −xcos⁡(4x)4+sin⁡(4x)16+3cos⁡(4x)2- \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(4x)4+sin⁡(4x)16+3cos⁡(4x)2+constant- \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(4x)4+sin⁡(4x)16+3cos⁡(4x)2+constant- \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                           sin(4*x)   3*cos(4*x)   x*cos(4*x)
 | (x - 6)*sin(4*x) dx = C + -------- + ---------- - ----------
 |                              16          2            4     
/
∫(x−6)sin⁡(4x) dx=C−xcos⁡(4x)4+sin⁡(4x)16+3cos⁡(4x)2\int \left(x - 6\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3   sin(4)   5*cos(4)
- - + ------ + --------
  2     16        4
−32+5cos⁡(4)4+sin⁡(4)16- \frac{3}{2} + \frac{5 \cos{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \right)}}{16} 
=
= 
  3   sin(4)   5*cos(4)
- - + ------ + --------
  2     16        4
−32+5cos⁡(4)4+sin⁡(4)16- \frac{3}{2} + \frac{5 \cos{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \right)}}{16} 
-3/2 + sin(4)/16 + 5*cos(4)/4
Respuesta numérica [src] 
-2.36435468203626
-2.36435468203626

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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