Integral de x(8-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 - \frac{u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{u^{2}}{4} + 4 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(8 - x^{2}\right) = - x^{3} + 8 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(16 - x^{2}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(16 - x^{2}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(16 - x^{2}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$