Integral de x^2(5x^3+34)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x^{3} + 34$.

      Luego que $du = 15 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{15}$:

      $\int \frac{u^{6}}{15}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{15}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{105}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x^{3} + 34\right)^{7}}{105}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(5 x^{3} + 34\right)^{6} = 15625 x^{20} + 637500 x^{17} + 10837500 x^{14} + 98260000 x^{11} + 501126000 x^{8} + 1363062720 x^{5} + 1544804416 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15625 x^{20}\, dx = 15625 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15625 x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 637500 x^{17}\, dx = 637500 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{106250 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10837500 x^{14}\, dx = 10837500 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $722500 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 98260000 x^{11}\, dx = 98260000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24565000 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 501126000 x^{8}\, dx = 501126000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{167042000 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1363062720 x^{5}\, dx = 1363062720 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $227177120 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1544804416 x^{2}\, dx = 1544804416 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1544804416 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{15625 x^{21}}{21} + \frac{106250 x^{18}}{3} + 722500 x^{15} + \frac{24565000 x^{12}}{3} + \frac{167042000 x^{9}}{3} + 227177120 x^{6} + \frac{1544804416 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x^{3} + 34\right)^{7}}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x^{3} + 34\right)^{7}}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x^{3} + 34\right)^{7}}{105}+ \mathrm{constant}$