Integral de 1/(sqrt(2-x))*(cbrt(2-x)+9) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 - x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{2 - x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{\frac{2}{3}} - 18\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{\frac{2}{3}}\right)\, du = - 2 \int u^{\frac{2}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{2}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{5}{3}}}{5}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-18\right)\, du = - 18 u$

         El resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{5}{3}}}{5} - 18 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{6 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{6}}}{5} - 18 \sqrt{2 - x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt[3]{2 - x} + 9}{\sqrt{2 - x}} = \frac{\sqrt[3]{2 - x}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{9}{\sqrt{2 - x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 - x\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2}{u^{\frac{8}{3}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = - \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{6 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{6}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{\sqrt{2 - x}}\, dx = 9 \int \frac{1}{\sqrt{2 - x}}\, dx$

         1. que $u = 2 - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{2 - x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 18 \sqrt{2 - x}$

      El resultado es: $- \frac{6 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{6}}}{5} - 18 \sqrt{2 - x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{6 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{6}}}{5} - 18 \sqrt{2 - x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{6 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{6}}}{5} - 18 \sqrt{2 - x}+ \mathrm{constant}$