Integral de (5)/sqrt(4-x^2)+(x^10-1)/x^5 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=1, substep=ConstantRule(constant=1, context=1, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=1/(sqrt(4 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \left(\begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right)$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{10} - 1}{x^{5}} = x^{5} - \frac{1}{x^{5}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 x^{4}}$

         El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{4 x^{4}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{10} - 1}{x^{5}} = \frac{x^{10}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 x^{4}}$

         El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{4 x^{4}}$

   El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} + 5 \left(\begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right) + \frac{1}{4 x^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x^{6}}{6} + 5 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{4 x^{4}} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x^{6}}{6} + 5 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{4 x^{4}} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{6}}{6} + 5 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{4 x^{4}} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$