Integral de x^4/(x^3+2*x^2+x+2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{4}}{\left(x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 2} = x - \frac{x - 2}{5 \left(x^{2} + 1\right)} - 2 + \frac{16}{5 \left(x + 2\right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x - 2}{5 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x - 2}{x^{2} + 1}\, dx}{5}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 2}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{2} + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

            PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{10} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{5}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{16}{5 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}$

      1. que $u = x + 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x + 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

   El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{16 \log{\left(x + 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{10} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{16 \log{\left(x + 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{10} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{16 \log{\left(x + 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{10} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$