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Resolución de integrales/ x/3dx/ (2x-6)/ sinx/3/ (2x-6)sinx/3dx

Integral de (2x-6)sinx/3dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (2*x - 6)*sin(x)   
 |  ---------------- dx
 |         3           
 |                     
/                      
0
∫01(2x−6)sin⁡(x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(2 x - 6\right) \sin{\left(x \right)}}{3}\, dx 
Integral(((2*x - 6)*sin(x))/3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(2x−6)sin⁡(x)3 dx=∫(2x−6)sin⁡(x) dx3\int \frac{\left(2 x - 6\right) \sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \left(2 x - 6\right) \sin{\left(x \right)}\, dx}{3}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (2x−6)sin⁡(x)=2xsin⁡(x)−6sin⁡(x)\left(2 x - 6\right) \sin{\left(x \right)} = 2 x \sin{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xsin⁡(x) dx=2∫xsin⁡(x) dx\int 2 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: −2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)+6cos⁡(x)- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x−6u{\left(x \right)} = 2 x - 6 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(x)3+2sin⁡(x)3+2cos⁡(x)- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2xcos⁡(x)3+2sin⁡(x)3+2cos⁡(x)+constant- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xcos⁡(x)3+2sin⁡(x)3+2cos⁡(x)+constant- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 | (2*x - 6)*sin(x)                     2*sin(x)   2*x*cos(x)
 | ---------------- dx = C + 2*cos(x) + -------- - ----------
 |        3                                3           3     
 |                                                           
/
∫(2x−6)sin⁡(x)3 dx=C−2xcos⁡(x)3+2sin⁡(x)3+2cos⁡(x)\int \frac{\left(2 x - 6\right) \sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = C - \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2*sin(1)   4*cos(1)
-2 + -------- + --------
        3          3
−2+2sin⁡(1)3+4cos⁡(1)3-2 + \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
     2*sin(1)   4*cos(1)
-2 + -------- + --------
        3          3
−2+2sin⁡(1)3+4cos⁡(1)3-2 + \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(1 \right)}}{3} 
-2 + 2*sin(1)/3 + 4*cos(1)/3
Respuesta numérica [src] 
-0.718616268970549
-0.718616268970549

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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