Integral de dx/√(1-x/2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{- \frac{x}{2} + 1}\right)^{3}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{x \sqrt{2 - x} - 2 \sqrt{2 - x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 \sqrt{2}}{x \sqrt{2 - x} - 2 \sqrt{2 - x}}\right)\, dx = - 2 \sqrt{2} \int \frac{1}{x \sqrt{2 - x} - 2 \sqrt{2 - x}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{2 - x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{2 - x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2}{u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2}{\sqrt{2 - x}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{- \frac{x}{2} + 1}\right)^{3}} = \frac{1}{- \frac{x \sqrt{1 - \frac{x}{2}}}{2} + \sqrt{1 - \frac{x}{2}}}$

   2. que $u = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{4 \sqrt{1 - \frac{x}{2}}}$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(- \frac{4}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{x}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - x}}+ \mathrm{constant}$