Integral de 0.5*x+x*log(x,10) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(10 \right)}}$:

      $\int \frac{u e^{2 u}}{\log{\left(10 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{2 u}\, du = \frac{\int u e^{2 u}\, du}{\log{\left(10 \right)}}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u e^{2 u}}{2} - \frac{e^{2 u}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

   El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(10 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(10 \right)}\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(10 \right)}\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(10 \right)}\right)}{4 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}$