Integral de e^(-sin(x))*sin(x)cos(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- \sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{- u}\, du$

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- u e^{- u} - e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- \sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \sin{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$