Integral de (2x+3)/x^(2/5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{15 \sqrt{u}}{2} + 5 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{15 \sqrt{u}}{2}\, du = \frac{15 \int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $5 u^{\frac{3}{2}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{5 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + 5 x^{\frac{3}{5}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 3}{x^{\frac{2}{5}}} = \frac{2 x}{x^{\frac{2}{5}}} + \frac{3}{x^{\frac{2}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{\frac{2}{5}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{\frac{2}{5}}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{5 x^{\frac{7}{5}}}$ y ponemos $- \frac{5 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{5}{2 u^{5}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{5}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{8 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{\frac{2}{5}}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{\frac{3}{5}}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + 5 x^{\frac{3}{5}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 x^{\frac{3}{5}} \left(x + 4\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{\frac{3}{5}} \left(x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{\frac{3}{5}} \left(x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}$