Integral de (sqrt(x)-2)^2/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u} = 2 u - 8 + \frac{8}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-8\right)\, du = - 8 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{u}\, du = 8 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $u^{2} - 8 u + 8 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 8 \sqrt{x} + x + 8 \log{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}}{x} = \frac{- 4 \sqrt{x} + x + 4}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{4 u \sqrt{\frac{1}{u}} - 4 u - 1}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{- u^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{u} + 4 u}{u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{- u^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{u} + 4 u}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \int \frac{- u^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{u} + 4 u}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

            1. que $u = \sqrt{u}$.

               Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u}\, du = - \int \frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{2 u^{2} - 8 u + 8}{u} = 2 u - 8 + \frac{8}{u}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(-8\right)\, du = - 8 u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{8}{u}\, du = 8 \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u \right)}$

                     El resultado es: $u^{2} - 8 u + 8 \log{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} + 8 u - 8 \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $8 \sqrt{u} - u - 8 \log{\left(\sqrt{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sqrt{u} + u + 8 \log{\left(\sqrt{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 8 \sqrt{\frac{1}{u}} + 8 \log{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 8 \sqrt{x} + x + 8 \log{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}}{x} = 1 + \frac{4}{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- 8 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 8 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 8 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 8 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$