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Resolución de integrales/ x^1/3/ (x)^1/3/ (ln(2+(x)^1/3))/(x^1/3)

Integral de (ln(2+(x)^1/3))/(x^1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |     /    3 ___\   
 |  log\2 + \/ x /   
 |  -------------- dx
 |      3 ___        
 |      \/ x         
 |                   
/                    
-1
∫−11log⁡(x3+2)x3 dx\int\limits_{-1}^{1} \frac{\log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{\sqrt[3]{x}}\, dx 
Integral(log(2 + x^(1/3))/x^(1/3), (x, -1, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

      Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos 3du3 du:

      ∫3ulog⁡(u+2) du\int 3 u \log{\left(u + 2 \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫ulog⁡(u+2) du=3∫ulog⁡(u+2) du\int u \log{\left(u + 2 \right)}\, du = 3 \int u \log{\left(u + 2 \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=log⁡(u+2)u{\left(u \right)} = \log{\left(u + 2 \right)} y que dv⁡(u)=u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u.

          Entonces du⁡(u)=1u+2\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 2}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u22(u+2) du=∫u2u+2 du2\int \frac{u^{2}}{2 \left(u + 2\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{2}}{u + 2}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+2=u−2+4u+2\frac{u^{2}}{u + 2} = u - 2 + \frac{4}{u + 2}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫4u+2 du=4∫1u+2 du\int \frac{4}{u + 2}\, du = 4 \int \frac{1}{u + 2}\, du

              1. que u=u+2u = u + 2.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(u+2)4 \log{\left(u + 2 \right)}

            El resultado es: u22−2u+4log⁡(u+2)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + 4 \log{\left(u + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u24−u+2log⁡(u+2)\frac{u^{2}}{4} - u + 2 \log{\left(u + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3u2log⁡(u+2)2−3u24+3u−6log⁡(u+2)\frac{3 u^{2} \log{\left(u + 2 \right)}}{2} - \frac{3 u^{2}}{4} + 3 u - 6 \log{\left(u + 2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x23log⁡(x3+2)2−3x234+3x3−6log⁡(x3+2)\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{2} - \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x} - 6 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x3+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)} y que dv⁡(x)=1x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}.

      Entonces du⁡(x)=13x23(x3+2)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt[3]{x} + 2\right)}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x3 dx=3x232\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12(x3+2) dx=∫1x3+2 dx2\int \frac{1}{2 \left(\sqrt[3]{x} + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} + 2}\, dx}{2}

      1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

        Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos 3du3 du:

        ∫3u2u+2 du\int \frac{3 u^{2}}{u + 2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u+2 du=3∫u2u+2 du\int \frac{u^{2}}{u + 2}\, du = 3 \int \frac{u^{2}}{u + 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+2=u−2+4u+2\frac{u^{2}}{u + 2} = u - 2 + \frac{4}{u + 2}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫4u+2 du=4∫1u+2 du\int \frac{4}{u + 2}\, du = 4 \int \frac{1}{u + 2}\, du

              1. que u=u+2u = u + 2.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(u+2)4 \log{\left(u + 2 \right)}

            El resultado es: u22−2u+4log⁡(u+2)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + 4 \log{\left(u + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u22−6u+12log⁡(u+2)\frac{3 u^{2}}{2} - 6 u + 12 \log{\left(u + 2 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x232−6x3+12log⁡(x3+2)\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - 6 \sqrt[3]{x} + 12 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x234−3x3+6log⁡(x3+2)\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{x} + 6 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x23log⁡(x3+2)2−3x234+3x3−6log⁡(x3+2)+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{2} - \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x} - 6 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x23log⁡(x3+2)2−3x234+3x3−6log⁡(x3+2)+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{2} - \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x} - 6 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                                                                    
 |    /    3 ___\                                          2/3      2/3    /    3 ___\
 | log\2 + \/ x /               /    3 ___\     3 ___   3*x      3*x   *log\2 + \/ x /
 | -------------- dx = C - 6*log\2 + \/ x / + 3*\/ x  - ------ + ---------------------
 |     3 ___                                              4                2          
 |     \/ x                                                                           
 |                                                                                    
/
∫log⁡(x3+2)x3 dx=C+3x23log⁡(x3+2)2−3x234+3x3−6log⁡(x3+2)\int \frac{\log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{\sqrt[3]{x}}\, dx = C + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}}{2} - \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x} - 6 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
1.000.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                        2/3           /    3 ____\          2/3    /    3 ____\      3 ____    /    3 ____\
  15        45        9*log(3)    6*(-1)        54*log\2 + \/ -1 /   12*(-1)   *log\2 + \/ -1 /   24*\/ -1 *log\2 + \/ -1 /
- -- + ------------ - -------- - ------------ + ------------------ - -------------------------- + -------------------------
  4          3 ____      2             3 ____            3 ____                   3 ____                       3 ____      
       8 + 4*\/ -1               8 + 4*\/ -1       8 + 4*\/ -1              8 + 4*\/ -1                  8 + 4*\/ -1
−9log⁡(3)2−154+458+4−13−12(−1)23log⁡(2+−13)8+4−13−6(−1)238+4−13+54log⁡(2+−13)8+4−13+24−13log⁡(2+−13)8+4−13- \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{15}{4} + \frac{45}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} - \frac{12 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} - \frac{6 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} + \frac{54 \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} + \frac{24 \sqrt[3]{-1} \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} 
=
= 
                                        2/3           /    3 ____\          2/3    /    3 ____\      3 ____    /    3 ____\
  15        45        9*log(3)    6*(-1)        54*log\2 + \/ -1 /   12*(-1)   *log\2 + \/ -1 /   24*\/ -1 *log\2 + \/ -1 /
- -- + ------------ - -------- - ------------ + ------------------ - -------------------------- + -------------------------
  4          3 ____      2             3 ____            3 ____                   3 ____                       3 ____      
       8 + 4*\/ -1               8 + 4*\/ -1       8 + 4*\/ -1              8 + 4*\/ -1                  8 + 4*\/ -1
−9log⁡(3)2−154+458+4−13−12(−1)23log⁡(2+−13)8+4−13−6(−1)238+4−13+54log⁡(2+−13)8+4−13+24−13log⁡(2+−13)8+4−13- \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{15}{4} + \frac{45}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} - \frac{12 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} - \frac{6 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} + \frac{54 \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} + \frac{24 \sqrt[3]{-1} \log{\left(2 + \sqrt[3]{-1} \right)}}{8 + 4 \sqrt[3]{-1}} 
-15/4 + 45/(8 + 4*(-1)^(1/3)) - 9*log(3)/2 - 6*(-1)^(2/3)/(8 + 4*(-1)^(1/3)) + 54*log(2 + (-1)^(1/3))/(8 + 4*(-1)^(1/3)) - 12*(-1)^(2/3)*log(2 + (-1)^(1/3))/(8 + 4*(-1)^(1/3)) + 24*(-1)^(1/3)*log(2 + (-1)^(1/3))/(8 + 4*(-1)^(1/3))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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