Integral de sin2x/(3sinx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \frac{1}{3 \sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)}}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx}{3}$

         1. que $u = \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$.

            Luego que $du = - \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)}} = \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{3}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$