Integral de 2^cos^2xSin2xdx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(2 x \right)} = 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$