Integral de x^3(x^2-4)^9 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{10}}{2} - 18 u^{9} + 288 u^{8} - 2688 u^{7} + 16128 u^{6} - 64512 u^{5} + 172032 u^{4} - 294912 u^{3} + 294912 u^{2} - 131072 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{10}}{2}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{22}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 18 u^{9}\right)\, du = - 18 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{10}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 288 u^{8}\, du = 288 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $32 u^{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2688 u^{7}\right)\, du = - 2688 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 336 u^{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16128 u^{6}\, du = 16128 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2304 u^{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 64512 u^{5}\right)\, du = - 64512 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 10752 u^{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 172032 u^{4}\, du = 172032 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{172032 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 294912 u^{3}\right)\, du = - 294912 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 73728 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 294912 u^{2}\, du = 294912 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $98304 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 131072 u\right)\, du = - 131072 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 65536 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{11}}{22} - \frac{9 u^{10}}{5} + 32 u^{9} - 336 u^{8} + 2304 u^{7} - 10752 u^{6} + \frac{172032 u^{5}}{5} - 73728 u^{4} + 98304 u^{3} - 65536 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{22}}{22} - \frac{9 x^{20}}{5} + 32 x^{18} - 336 x^{16} + 2304 x^{14} - 10752 x^{12} + \frac{172032 x^{10}}{5} - 73728 x^{8} + 98304 x^{6} - 65536 x^{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(x^{2} - 4\right)^{9} = x^{21} - 36 x^{19} + 576 x^{17} - 5376 x^{15} + 32256 x^{13} - 129024 x^{11} + 344064 x^{9} - 589824 x^{7} + 589824 x^{5} - 262144 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 36 x^{19}\right)\, dx = - 36 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 x^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 576 x^{17}\, dx = 576 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5376 x^{15}\right)\, dx = - 5376 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 336 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32256 x^{13}\, dx = 32256 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2304 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 129024 x^{11}\right)\, dx = - 129024 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10752 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 344064 x^{9}\, dx = 344064 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{172032 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 589824 x^{7}\right)\, dx = - 589824 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 73728 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 589824 x^{5}\, dx = 589824 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $98304 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 262144 x^{3}\right)\, dx = - 262144 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 65536 x^{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{22}}{22} - \frac{9 x^{20}}{5} + 32 x^{18} - 336 x^{16} + 2304 x^{14} - 10752 x^{12} + \frac{172032 x^{10}}{5} - 73728 x^{8} + 98304 x^{6} - 65536 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(5 x^{18} - 198 x^{16} + 3520 x^{14} - 36960 x^{12} + 253440 x^{10} - 1182720 x^{8} + 3784704 x^{6} - 8110080 x^{4} + 10813440 x^{2} - 7208960\right)}{110}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(5 x^{18} - 198 x^{16} + 3520 x^{14} - 36960 x^{12} + 253440 x^{10} - 1182720 x^{8} + 3784704 x^{6} - 8110080 x^{4} + 10813440 x^{2} - 7208960\right)}{110}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(5 x^{18} - 198 x^{16} + 3520 x^{14} - 36960 x^{12} + 253440 x^{10} - 1182720 x^{8} + 3784704 x^{6} - 8110080 x^{4} + 10813440 x^{2} - 7208960\right)}{110}+ \mathrm{constant}$