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Resolución de integrales/ -sinx/ 1+sinx/ (cosx-sinx)/(1+sinx)

Integral de (cosx-sinx)/(1+sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
 --                   
 2                    
  /                   
 |                    
 |  cos(x) - sin(x)   
 |  --------------- dx
 |     1 + sin(x)     
 |                    
/                     
0
∫0π2−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+1 dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral((cos(x) - sin(x))/(1 + sin(x)), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    −sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+1=−sin⁡(x)sin⁡(x)+1+cos⁡(x)sin⁡(x)+1\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)sin⁡(x)+1) dx=−∫sin⁡(x)sin⁡(x)+1 dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        xtan⁡(x2)tan⁡(x2)+1+xtan⁡(x2)+1+2tan⁡(x2)+1\frac{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

      Por lo tanto, el resultado es: −xtan⁡(x2)tan⁡(x2)+1−xtan⁡(x2)+1−2tan⁡(x2)+1- \frac{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{x}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

    1. que u=sin⁡(x)+1u = \sin{\left(x \right)} + 1.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(sin⁡(x)+1)\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}

    El resultado es: −xtan⁡(x2)tan⁡(x2)+1−xtan⁡(x2)+1+log⁡(sin⁡(x)+1)−2tan⁡(x2)+1- \frac{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{x}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

  3. Ahora simplificar:

    −xtan⁡(x2)−x+log⁡(sin⁡(x)+1)tan⁡(x2)+log⁡(sin⁡(x)+1)−2tan⁡(x2)+1\frac{- x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - x + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −xtan⁡(x2)−x+log⁡(sin⁡(x)+1)tan⁡(x2)+log⁡(sin⁡(x)+1)−2tan⁡(x2)+1+constant\frac{- x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - x + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xtan⁡(x2)−x+log⁡(sin⁡(x)+1)tan⁡(x2)+log⁡(sin⁡(x)+1)−2tan⁡(x2)+1+constant\frac{- x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - x + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         /x\                   
 |                                                     x*tan|-|                   
 | cos(x) - sin(x)              2            x              \2/                   
 | --------------- dx = C - ---------- - ---------- - ---------- + log(1 + sin(x))
 |    1 + sin(x)                   /x\          /x\          /x\                  
 |                          1 + tan|-|   1 + tan|-|   1 + tan|-|                  
/                                  \2/          \2/          \2/
∫−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+1 dx=C−xtan⁡(x2)tan⁡(x2)+1−xtan⁡(x2)+1+log⁡(sin⁡(x)+1)−2tan⁡(x2)+1\int \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = C - \frac{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{x}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.55-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    pi         
1 - -- + log(2)
    2
−π2+log⁡(2)+1- \frac{\pi}{2} + \log{\left(2 \right)} + 1 
=
= 
    pi         
1 - -- + log(2)
    2
−π2+log⁡(2)+1- \frac{\pi}{2} + \log{\left(2 \right)} + 1 
1 - pi/2 + log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.122350853765049
0.122350853765049

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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