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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^3/ sin(y)/ sin^2(x)*cos^3(x)*sin(y)

Integral de sin^2(x)*cos^3(x)*sin(y) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                          
  /                          
 |                           
 |     2       3             
 |  sin (x)*cos (x)*sin(y) dx
 |                           
/                            
0
∫0πsin⁡2(x)cos⁡3(x)sin⁡(y) dx\int\limits_{0}^{\pi} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}\, dx 
Integral((sin(x)^2*cos(x)^3)*sin(y), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫sin⁡2(x)cos⁡3(x)sin⁡(y) dx=sin⁡(y)∫sin⁡2(x)cos⁡3(x) dx\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}\, dx = \sin{\left(y \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(−u4+u2) du\int \left(- u^{4} + u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u55+u33- \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: (−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3)sin⁡(y)\left(- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}\right) \sin{\left(y \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)sin⁡(y)15\frac{\left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}}{15}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)sin⁡(y)15+constant\frac{\left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)sin⁡(y)15+constant\frac{\left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                 /     5         3   \       
 |    2       3                    |  sin (x)   sin (x)|       
 | sin (x)*cos (x)*sin(y) dx = C + |- ------- + -------|*sin(y)
 |                                 \     5         3   /       
/
∫sin⁡2(x)cos⁡3(x)sin⁡(y) dx=C+(−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3)sin⁡(y)\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}\, dx = C + \left(- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}\right) \sin{\left(y \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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