Integral de 15-(-5+y+2*x)^2-6*x-3*y dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 y\right)\, dy = - 3 \int y\, dy$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 y^{2}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- 6 x\right)\, dy = - 6 x y$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 15\, dy = 15 y$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{2}\right)\, dy = - \int \left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{2}\, dy$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = 2 x + \left(y - 5\right)$.

                  Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{3}}{3}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + y^{2} + y \left(4 x - 10\right) + 25$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 4 x^{2}\, dy = 4 x^{2} y$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- 20 x\right)\, dy = - 20 x y$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int y \left(4 x - 10\right)\, dy = \left(4 x - 10\right) \int y\, dy$

                     1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{2} \left(4 x - 10\right)}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 25\, dy = 25 y$

                  El resultado es: $4 x^{2} y - 20 x y + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2} \left(4 x - 10\right)}{2} + 25 y$

               Método #3

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{2} = 4 x^{2} + 4 x y - 20 x + y^{2} - 10 y + 25$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 4 x^{2}\, dy = 4 x^{2} y$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 4 x y\, dy = 4 x \int y\, dy$

                     1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $2 x y^{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- 20 x\right)\, dy = - 20 x y$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 10 y\right)\, dy = - 10 \int y\, dy$

                     1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 5 y^{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 25\, dy = 25 y$

                  El resultado es: $4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 20 x y + \frac{y^{3}}{3} - 5 y^{2} + 25 y$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{3}}{3}$

         El resultado es: $15 y - \frac{\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{3}}{3}$

      El resultado es: $- 6 x y + 15 y - \frac{\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{3}}{3}$

   El resultado es: $- 6 x y - \frac{3 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{\left(2 x + \left(y - 5\right)\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- 6 x y - \frac{3 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{\left(2 x + y - 5\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 x y - \frac{3 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{\left(2 x + y - 5\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 x y - \frac{3 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{\left(2 x + y - 5\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$