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Resolución de integrales/ 2sinx/ sinx^8/ sinx^6/ sinx^4/ sinx^8-2sinx^6+sinx^4

Integral de sinx^8-2sinx^6+sinx^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                   
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 |  /   8           6         4   \   
 |  \sin (x) - 2*sin (x) + sin (x)/ dx
 |                                    
/                                     
0
∫01((sin⁡8(x)−2sin⁡6(x))+sin⁡4(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(\sin^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)}\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(x)^8 - 2*sin(x)^6 + sin(x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡8(x)=(12−cos⁡(2x)2)4\sin^{8}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12−cos⁡(2x)2)4=cos⁡4(2x)16−cos⁡3(2x)4+3cos⁡2(2x)8−cos⁡(2x)4+116\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡4(2x)16 dx=∫cos⁡4(2x) dx16\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

            2. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            3. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=8xu = 8 x.

                      Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                      ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x128+sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡3(2x)4) dx=−∫cos⁡3(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

                1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

                  El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                  1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                    Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                El resultado es: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Método #3

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                  1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                    Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                El resultado es: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)24−sin⁡(2x)8\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

          El resultado es: 35x128+sin⁡3(2x)24−sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12−cos⁡(2x)2)4=cos⁡4(2x)16−cos⁡3(2x)4+3cos⁡2(2x)8−cos⁡(2x)4+116\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡4(2x)16 dx=∫cos⁡4(2x) dx16\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

            2. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            3. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=8xu = 8 x.

                      Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                      ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x128+sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡3(2x)4) dx=−∫cos⁡3(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

                El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)24−sin⁡(2x)8\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

          El resultado es: 35x128+sin⁡3(2x)24−sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡6(x)) dx=−2∫sin⁡6(x) dx\int \left(- 2 \sin^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡6(x)=(12−cos⁡(2x)2)3\sin^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (12−cos⁡(2x)2)3=−cos⁡3(2x)8+3cos⁡2(2x)8−3cos⁡(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡3(2x)8) dx=−∫cos⁡3(2x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

                El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)16\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3cos⁡(2x)8) dx=−3∫cos⁡(2x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2x)16- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

          El resultado es: 5x16+sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)4+3sin⁡(4x)64\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: −5x8−sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)2−3sin⁡(4x)32- \frac{5 x}{8} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{32}

      El resultado es: −45x128+sin⁡(2x)4−5sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024- \frac{45 x}{128} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡4(x)=(12−cos⁡(2x)2)2\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2x)2)2=cos⁡2(2x)4−cos⁡(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

    El resultado es: 3x128−sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x128−sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024+constant\frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x128−sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024+constant\frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 | /   8           6         4   \          sin(4*x)   sin(8*x)   3*x
 | \sin (x) - 2*sin (x) + sin (x)/ dx = C - -------- + -------- + ---
 |                                            128        1024     128
/
∫((sin⁡8(x)−2sin⁡6(x))+sin⁡4(x)) dx=C+3x128−sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\int \left(\left(\sin^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)}\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           7                3                  5          
 3    3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   3*sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - -------------- - -------------- + ----------------
128         128               8                64                16
−sin⁡7(1)cos⁡(1)8−3sin⁡(1)cos⁡(1)128−sin⁡3(1)cos⁡(1)64+3128+3sin⁡5(1)cos⁡(1)16- \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{64} + \frac{3}{128} + \frac{3 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} 
=
= 
                           7                3                  5          
 3    3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   3*sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - -------------- - -------------- + ----------------
128         128               8                64                16
−sin⁡7(1)cos⁡(1)8−3sin⁡(1)cos⁡(1)128−sin⁡3(1)cos⁡(1)64+3128+3sin⁡5(1)cos⁡(1)16- \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{64} + \frac{3}{128} + \frac{3 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} 
3/128 - 3*cos(1)*sin(1)/128 - sin(1)^7*cos(1)/8 - sin(1)^3*cos(1)/64 + 3*sin(1)^5*cos(1)/16
Respuesta numérica [src] 
0.0303161896573113
0.0303161896573113

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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