Integral de (3*x-2)/(sqrt(2+3*(x^2))) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{3 x - 2}{\sqrt{3 x^{2} + 2}} = \frac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}} - \frac{2}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}\, dx$

      1. que $u = 3 x^{2} + 2$.

         Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{3 x^{2} + 2}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{3 x^{2} + 2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{2} + 1}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{\sqrt{6} x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{\sqrt{6} dx}{2}$ y ponemos $\frac{\sqrt{6} du}{3}$:

            $\int \frac{2}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \frac{\sqrt{6} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du}{3}$

               InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{6} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sqrt{6} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}$

   El resultado es: $\sqrt{3 x^{2} + 2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{3 x^{2} + 2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{3 x^{2} + 2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$