Integral de (1+cos^2x)/(1+cos2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} + \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \frac{1}{2}$

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$