Integral de (1+2lnx)/(x√(lnx)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u + 1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{2 u^{2} + 4}{u^{4}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 u^{2} + 4}{u^{4}}\, du = - \int \frac{2 u^{2} + 4}{u^{4}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{2 u^{2} + 4}{u^{4}} = \frac{2}{u^{2}} + \frac{4}{u^{4}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{u^{4}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{3 u^{3}}$

               El resultado es: $- \frac{2}{u} - \frac{4}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u} + \frac{4}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}} = \frac{2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x} + \frac{1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $\frac{4 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{\log{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\frac{4 \log{\left(x \right)}}{3} + 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\frac{4 \log{\left(x \right)}}{3} + 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\frac{4 \log{\left(x \right)}}{3} + 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$