Sr Examen
Integral de 1/cos(y) dy
Solución
Ha introducido
[src]
y / | | 1 | ------ dy | cos(y) | / 0
$$\int\limits_{0}^{y} \frac{1}{\cos{\left(y \right)}}\, dy$$
Integral(1/cos(y), (y, 0, y))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------ dy | cos(y) | /
La función subintegral
1 ------ cos(y)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(y)
obtendremos
1 cos(y)
------ = -------
cos(y) 2
cos (y)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (y) = 1 - sin (y)
cambiamos denominador
cos(y) cos(y) ------- = ----------- 2 2 cos (y) 1 - sin (y)
hacemos el cambio
u = sin(y)
entonces integral
/ | | cos(y) | ----------- dy | 2 = | 1 - sin (y) | /
/ | | cos(y) | ----------- dy | 2 = | 1 - sin (y) | /
Como du = dy*cos(y)
/ | | 1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
1 1
----- + -----
1 1 - u 1 + u
------ = -------------
2 2
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ------ du = ----------- + -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = sin(y)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + sin(y)) log(-1 + sin(y)) | ------ dy = --------------- - ---------------- + C0 | cos(y) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de y
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + sin(y)) log(-1 + sin(y)) | ------ dy = C + --------------- - ---------------- | cos(y) 2 2 | /
$$\int \frac{1}{\cos{\left(y \right)}}\, dy = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
log(1 + sin(y)) log(-1 + sin(y)) pi*I
--------------- - ---------------- + ----
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{i \pi}{2}$$
=
=
log(1 + sin(y)) log(-1 + sin(y)) pi*I
--------------- - ---------------- + ----
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{i \pi}{2}$$
log(1 + sin(y))/2 - log(-1 + sin(y))/2 + pi*i/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.