Integral de ((9-2x^3)^4)*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 9 - 2 x^{3}$.

      Luego que $du = - 6 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{u^{4}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{30}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(9 - 2 x^{3}\right)^{5}}{30}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(9 - 2 x^{3}\right)^{4} = 16 x^{14} - 288 x^{11} + 1944 x^{8} - 5832 x^{5} + 6561 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 x^{14}\, dx = 16 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{15}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 288 x^{11}\right)\, dx = - 288 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1944 x^{8}\, dx = 1944 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $216 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5832 x^{5}\right)\, dx = - 5832 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 972 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6561 x^{2}\, dx = 6561 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2187 x^{3}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{15}}{15} - 24 x^{12} + 216 x^{9} - 972 x^{6} + 2187 x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x^{3} - 9\right)^{5}}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x^{3} - 9\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x^{3} - 9\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}$