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Resolución de integrales/ 2xsqr/ Sqrt(5)/(2xsqrt(5+4x))

Integral de Sqrt(5)/(2xsqrt(5+4x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                   
  /                   
 |                    
 |         ___        
 |       \/ 5         
 |  --------------- dx
 |        _________   
 |  2*x*\/ 5 + 4*x    
 |                    
/                     
1
∫1552x4x+5 dx\int\limits_{1}^{5} \frac{\sqrt{5}}{2 x \sqrt{4 x + 5}}\, dx 
Integral(sqrt(5)/(((2*x)*sqrt(5 + 4*x))), (x, 1, 5))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫52x4x+5 dx=5∫12x4x+5 dx\int \frac{\sqrt{5}}{2 x \sqrt{4 x + 5}}\, dx = \sqrt{5} \int \frac{1}{2 x \sqrt{4 x + 5}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      {−5acoth⁡(25x+545)5for 4∣x+54∣5>1−5atanh⁡(25x+545)5otherwese\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: \frac{4 \left|{x + \frac{5}{4}}\right|}{5} > 1 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{otherwese} \end{cases}

    Por lo tanto, el resultado es: 5({−5acoth⁡(25x+545)5for 4∣x+54∣5>1−5atanh⁡(25x+545)5otherwese)\sqrt{5} \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: \frac{4 \left|{x + \frac{5}{4}}\right|}{5} > 1 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {−acoth⁡(54x+55)for ∣4x+5∣5>1−atanh⁡(54x+55)otherwese\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{4 x + 5}\right|}{5} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {−acoth⁡(54x+55)for ∣4x+5∣5>1−atanh⁡(54x+55)otherwese+constant\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{4 x + 5}\right|}{5} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−acoth⁡(54x+55)for ∣4x+5∣5>1−atanh⁡(54x+55)otherwese+constant\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{4 x + 5}\right|}{5} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 x + 5}}{5} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                  //            /    ___   _________\                      \
                                  ||   ___      |2*\/ 5 *\/ 5/4 + x |                      |
  /                               ||-\/ 5 *acoth|-------------------|                      |
 |                                ||            \         5         /       4*|5/4 + x|    |
 |        ___                     ||----------------------------------  for ----------- > 1|
 |      \/ 5                  ___ ||                5                            5         |
 | --------------- dx = C + \/ 5 *|<                                                       |
 |       _________                ||            /    ___   _________\                      |
 | 2*x*\/ 5 + 4*x                 ||   ___      |2*\/ 5 *\/ 5/4 + x |                      |
 |                                ||-\/ 5 *atanh|-------------------|                      |
/                                 ||            \         5         /                      |
                                  ||----------------------------------       otherwise     |
                                  \\                5                                      /
∫52x4x+5 dx=C+5({−5acoth⁡(25x+545)5for 4∣x+54∣5>1−5atanh⁡(25x+545)5otherwise)\int \frac{\sqrt{5}}{2 x \sqrt{4 x + 5}}\, dx = C + \sqrt{5} \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: \frac{4 \left|{x + \frac{5}{4}}\right|}{5} > 1 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x + \frac{5}{4}}}{5} \right)}}{5} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Gráfica
1.05.01.52.02.53.03.54.04.51-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       /  ___\        /  ___\
       |\/ 5 |        |\/ 5 |
- atanh|-----| + atanh|-----|
       \  5  /        \  3  /
−atanh⁡(55)+atanh⁡(53)- \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5}}{3} \right)} 
=
= 
       /  ___\        /  ___\
       |\/ 5 |        |\/ 5 |
- atanh|-----| + atanh|-----|
       \  5  /        \  3  /
−atanh⁡(55)+atanh⁡(53)- \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5}}{3} \right)} 
-atanh(sqrt(5)/5) + atanh(sqrt(5)/3)
Respuesta numérica [src] 
0.481211825059603
0.481211825059603

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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