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Resolución de integrales/ cos^3/ inxdx/ 8cosx/ (5+8cosx−4cos^3x)sinxdx

Integral de (5+8cosx−4cos^3x)sinxdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                     
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 |  /                    3   \          
 |  \5 + 8*cos(x) - 4*cos (x)/*sin(x) dx
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0
∫01((8cos⁡(x)+5)−4cos⁡3(x))sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(8 \cos{\left(x \right)} + 5\right) - 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((5 + 8*cos(x) - 4*cos(x)^3)*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(4u3−8u−5) du\int \left(4 u^{3} - 8 u - 5\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u3 du=4∫u3 du\int 4 u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: u4u^{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8u) du=−8∫u du\int \left(- 8 u\right)\, du = - 8 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −4u2- 4 u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−5) du=−5u\int \left(-5\right)\, du = - 5 u

        El resultado es: u4−4u2−5uu^{4} - 4 u^{2} - 5 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      cos⁡4(x)−4cos⁡2(x)−5cos⁡(x)\cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((8cos⁡(x)+5)−4cos⁡3(x))sin⁡(x)=−4sin⁡(x)cos⁡3(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)+5sin⁡(x)\left(\left(8 \cos{\left(x \right)} + 5\right) - 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(x)cos⁡3(x)) dx=−4∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡4(x)\cos^{4}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡(x)cos⁡(x) dx=8∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡2(x)- 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5sin⁡(x) dx=5∫sin⁡(x) dx\int 5 \sin{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(x)- 5 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: cos⁡4(x)−4cos⁡2(x)−5cos⁡(x)\cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((8cos⁡(x)+5)−4cos⁡3(x))sin⁡(x)=−4sin⁡(x)cos⁡3(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)+5sin⁡(x)\left(\left(8 \cos{\left(x \right)} + 5\right) - 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(x)cos⁡3(x)) dx=−4∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡4(x)\cos^{4}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡(x)cos⁡(x) dx=8∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡2(x)- 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5sin⁡(x) dx=5∫sin⁡(x) dx\int 5 \sin{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(x)- 5 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: cos⁡4(x)−4cos⁡2(x)−5cos⁡(x)\cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (cos⁡3(x)−4cos⁡(x)−5)cos⁡(x)\left(\cos^{3}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (cos⁡3(x)−4cos⁡(x)−5)cos⁡(x)+constant\left(\cos^{3}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(cos⁡3(x)−4cos⁡(x)−5)cos⁡(x)+constant\left(\cos^{3}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
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 | /                    3   \                    4                      2   
 | \5 + 8*cos(x) - 4*cos (x)/*sin(x) dx = C + cos (x) - 5*cos(x) - 4*cos (x)
 |                                                                          
/
∫((8cos⁡(x)+5)−4cos⁡3(x))sin⁡(x) dx=C+cos⁡4(x)−4cos⁡2(x)−5cos⁡(x)\int \left(\left(8 \cos{\left(x \right)} + 5\right) - 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       4                      2   
8 + cos (1) - 5*cos(1) - 4*cos (1)
−5cos⁡(1)−4cos⁡2(1)+cos⁡4(1)+8- 5 \cos{\left(1 \right)} - 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 
=
= 
       4                      2   
8 + cos (1) - 5*cos(1) - 4*cos (1)
−5cos⁡(1)−4cos⁡2(1)+cos⁡4(1)+8- 5 \cos{\left(1 \right)} - 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 
8 + cos(1)^4 - 5*cos(1) - 4*cos(1)^2
Respuesta numérica [src] 
4.21600327287206
4.21600327287206

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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