Sr Examen

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Integral de (3x-2)/(x^2-4x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |    3*x - 2      
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 4*x + 5   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 2}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((3*x - 2)/(x^2 - 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |   3*x - 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 4*x + 5   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
                   2*x - 4                   
               3*------------        /4\     
                  2                  |-|     
  3*x - 2        x  - 4*x + 5        \1/     
------------ = -------------- + -------------
 2                   2                  2    
x  - 4*x + 5                    (-x + 2)  + 1
o
  /                 
 |                  
 |   3*x - 2        
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 4*x + 5     
 |                  
/                   
  
                            /               
                           |                
                           |   2*x - 4      
                        3* | ------------ dx
                           |  2             
    /                      | x  - 4*x + 5   
   |                       |                
   |       1              /                 
4* | ------------- dx + --------------------
   |         2                   2          
   | (-x + 2)  + 1                          
   |                                        
  /                                         
En integral
    /               
   |                
   |   2*x - 4      
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  - 4*x + 5   
   |                
  /                 
--------------------
         2          
hacemos el cambio
     2      
u = x  - 4*x
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 5 + u                  
   |                        
  /             3*log(5 + u)
------------- = ------------
      2              2      
hacemos cambio inverso
    /                                     
   |                                      
   |   2*x - 4                            
3* | ------------ dx                      
   |  2                                   
   | x  - 4*x + 5                         
   |                        /     2      \
  /                    3*log\5 + x  - 4*x/
-------------------- = -------------------
         2                      2         
En integral
    /                
   |                 
   |       1         
4* | ------------- dx
   |         2       
   | (-x + 2)  + 1   
   |                 
  /                  
hacemos el cambio
v = 2 - x
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
4* | ------ dv = 4*atan(v)
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /                       
hacemos cambio inverso
    /                                 
   |                                  
   |       1                          
4* | ------------- dx = 4*atan(-2 + x)
   |         2                        
   | (-x + 2)  + 1                    
   |                                  
  /                                   
La solución:
                          /     2      \
                     3*log\5 + x  - 4*x/
C + 4*atan(-2 + x) + -------------------
                              2         
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                          
 |                                             /     2      \
 |   3*x - 2                              3*log\5 + x  - 4*x/
 | ------------ dx = C + 4*atan(-2 + x) + -------------------
 |  2                                              2         
 | x  - 4*x + 5                                              
 |                                                           
/                                                            
$$\int \frac{3 x - 2}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} - 4 x + 5 \right)}}{2} + 4 \operatorname{atan}{\left(x - 2 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                  3*log(5)   3*log(2)
-pi + 4*atan(2) - -------- + --------
                     2          2    
$$- \pi - \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2} + 4 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
=
=
                  3*log(5)   3*log(2)
-pi + 4*atan(2) - -------- + --------
                     2          2    
$$- \pi - \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2} + 4 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
-pi + 4*atan(2) - 3*log(5)/2 + 3*log(2)/2
Respuesta numérica [src]
-0.0874338802246638
-0.0874338802246638

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.