Integral de x/(2x+5) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x}{2 x + 5} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2 \left(2 x + 5\right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{5}{2 \left(2 x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{2 x + 5}\, dx}{2}$

      1. que $u = 2 x + 5$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \log{\left(2 x + 5 \right)}}{4}$

   El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{5 \log{\left(2 x + 5 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \frac{5 \log{\left(2 x + 5 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{5 \log{\left(2 x + 5 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$