Integral de 4*x^2*exp(-2x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 4 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 4 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 e^{- 2 x}\, dx = 2 \int e^{- 2 x}\, dx$

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- 2 x}$

4. Ahora simplificar:

   $- \left(2 x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- 2 x}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(2 x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(2 x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$