Integral de cos(3x)*(3-2sin(3x))^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt[4]{3 - 2 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt[4]{3 - 2 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sqrt[4]{3 - 2 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = 3 - 2 \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - 2 \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt[4]{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[4]{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(u \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(u \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{15}$

   Método #2

   1. que $u = 3 - 2 \sin{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - 6 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt[4]{u}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt[4]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[4]{u}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{5}{4}}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(3 - 2 \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\frac{5}{4}}}{15}+ \mathrm{constant}$