Integral de cos(x)^3*sin(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

            2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$