Sr Examen
Integral de 1/siny dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | ------ dy | sin(y) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\, dy$$
Integral(1/sin(y), (y, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------ dy | sin(y) | /
La función subintegral
1 ------ sin(y)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(y)
obtendremos
1 sin(y)
------ = -------
sin(y) 2
sin (y)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (y) = 1 - cos (y)
cambiamos denominador
sin(y) sin(y) ------- = ----------- 2 2 sin (y) 1 - cos (y)
hacemos el cambio
u = cos(y)
entonces integral
/ | | sin(y) | ----------- dy | 2 = | 1 - cos (y) | /
/ | | sin(y) | ----------- dy | 2 = | 1 - cos (y) | /
Como du = -dy*sin(y)
/ | | -1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
-1 -1 / 1 1 \
------ = ---*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ------ du = - ----------- - -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = cos(y)
Respuesta
/ | | 1 log(-1 + cos(y)) log(1 + cos(y)) | ------ dy = ---------------- - --------------- + C0 | sin(y) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de y
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(-1 + cos(y)) log(1 + cos(y)) | ------ dy = C + ---------------- - --------------- | sin(y) 2 2 | /
$$\int \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\, dy = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
pi*I
oo + ----
2
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
=
=
pi*I
oo + ----
2
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
oo + pi*i/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.