Integral de arccos(3x)/(sqrt(1-9x^2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$