Integral de arccosx-arcsinx dx

1. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      1. que $u = 1 - x^{2}$.

         Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{1 - x^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - x^{2}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \operatorname{asin}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. que $u = 1 - x^{2}$.

         Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{1 - x^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \sqrt{1 - x^{2}}$

   El resultado es: $x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - x \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - x \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 2 \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - x \operatorname{asin}{\left(x \right)} - 2 \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$