Integral de (3*x+2)*e^(5*x+4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{5 x + 4} \left(3 x + 2\right) = 3 x e^{4} e^{5 x} + 2 e^{4} e^{5 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{4} e^{5 x}\, dx = 3 e^{4} \int x e^{5 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{5 x}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right) e^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{4} e^{5 x}\, dx = 2 e^{4} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{4} e^{5 x}}{5}$

      El resultado es: $3 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right) e^{4} + \frac{2 e^{4} e^{5 x}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{5 x + 4} \left(3 x + 2\right) = 3 x e^{4} e^{5 x} + 2 e^{4} e^{5 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{4} e^{5 x}\, dx = 3 e^{4} \int x e^{5 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{5 x}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right) e^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{4} e^{5 x}\, dx = 2 e^{4} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{4} e^{5 x}}{5}$

      El resultado es: $3 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right) e^{4} + \frac{2 e^{4} e^{5 x}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(15 x + 7\right) e^{5 x + 4}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(15 x + 7\right) e^{5 x + 4}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(15 x + 7\right) e^{5 x + 4}}{25}+ \mathrm{constant}$