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Resolución de integrales/ (2+x)/ 1/(2+x)ln^2(2+x)

Integral de 1/(2+x)ln^2(2+x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     2          
 |  log (2 + x)   
 |  ----------- dx
 |     2 + x      
 |                
/                 
0
∫01log⁡(x+2)2x+2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{x + 2}\, dx 
Integral(log(2 + x)^2/(2 + x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x+2u = x + 2.

      Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

      ∫log⁡(u)2u du\int \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(u)33\frac{\log{\left(u \right)}^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x+2)33\frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x+2)u = \log{\left(x + 2 \right)}.

      Luego que du=dxx+2du = \frac{dx}{x + 2} y ponemos dudu:

      ∫u2 du\int u^{2}\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x+2)33\frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x+2)33+constant\frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x+2)33+constant\frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                 
 |    2                    3       
 | log (2 + x)          log (2 + x)
 | ----------- dx = C + -----------
 |    2 + x                  3     
 |                                 
/
∫log⁡(x+2)2x+2 dx=C+log⁡(x+2)33\int \frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{x + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     3         3   
  log (2)   log (3)
- ------- + -------
     3         3
−log⁡(2)33+log⁡(3)33- \frac{\log{\left(2 \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(3 \right)}^{3}}{3} 
=
= 
     3         3   
  log (2)   log (3)
- ------- + -------
     3         3
−log⁡(2)33+log⁡(3)33- \frac{\log{\left(2 \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(3 \right)}^{3}}{3} 
-log(2)^3/3 + log(3)^3/3
Respuesta numérica [src] 
0.330981436051659
0.330981436051659

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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