Integral de ln^2(x)/x^3 dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{2} e^{- 2 u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = - 2 u$.

         Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = - u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = -1$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = - 2 u$.

         Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{- 2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}$

      1. que $u = - 2 u$.

         Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- 2 u}}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2 x^{2}} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}$